Identitas perkalian dan perjumlahan/ selisih sinus dan kosinus
A. identitas perkalian Sinus dan Kosinus
cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β
cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β
sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β
sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β
Sekarang, Anda akan mempelajari perkalian sinus dan kosinus. Untuk itu, pelajari uraian berikut.
cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β .... (1)
cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β .... (2)
Dengan menjumlahkan (1) dan (2), Anda akan memperoleh
cos (α + β) + cos (α – β) = 2 cos α cos β
Jadi, perkalian sinus dan sinus adalah :
cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β .... (3)
cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β .... (4)
Dengan mengurangkan (4) terhadap (3), diperoleh :
cos(α + β) – cos (α – β) = –2 sin α sin β
Jadi, perkalian sinus dan sinus adalah :
sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β .... (5)
sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β .... (6)
Dengan menjumlahkan (5) dan (6), diperoleh :
sin (α + β) + sin (α – β) = 2 sin α cos β
Jadi, perkalian sinus dan cosinus adalah :
sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β .... (7)
sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β .... (8)
Dengan mengurangkan (8) terhadap (7), diperoleh
sin(α + β) – sin (α – β) = 2 cos α sin β
Jadi, perkalian sinus dan cosinus :
Contoh Soal
Hitunglah:
a. cos 75° cos 15°
b. –2 sin 15°sin 75°
Pembahasan
a. cos 75° cos 15° = 1/2 (cos (75 + 15)° + cos (75 – 15)°)
= 1/2 (cos 90 + cos 60)°
= 1/2 (0 + 1/2)
= 1/4
b. –2 sin 15° sin 75° = cos (15 + 75)° – cos (15 – 7 5)°
= cos 90° – cos (–60)°
= cos 90° – cos 60°
= 0 - 1/2)
= - 1/2
Contoh Soal
Buktikan 4 sin 72° cos 144° sin 216° = 1 – cos 144°.
Penyelesaian
4 sin 72°cos 144°sin 216° = 2 sin 72°[2 sin 216°cos 144°]
= 2 sin 72°[sin(360°) + sin72°]
= 2 sin 72°[0 + sin72°]
= 2 sin cos 2 (72°)
= 1 – cos2(72°)
= 1 – cos144°
B. Penjumlahan dan pengurangan sinus dan cosinus
Rumus perkalian sinus dan kosinus dapat ditulis dalam rumus berikut.
cos (α + β) + cos (α – β) = 2 cos α cos β .... (9)
cos (α + β) – cos (α – β) = –2 sin α sin β .... (10)
sin (α + β) + sin (α – β) = 2 sin α cos β .... (11)
sin (α + β) – sin (α – β) = 2 cos α sin β .... (12)
Contoh Soal
sin 105° + sin 15° = 2 sin 1/2 (105 + 15)° cos 1/2 (105 – 15)°
Jawaban
= 2 sin 1/2 (120)° cos 1/2 (90)°
= 2 sin 60° cos 45°
Contoh Soal
cos 75° – cos 15° = –2 sin 1/2 (75° + 15°) sin 1/2 (75° – 15°)
Jawaban
= –2 sin 45° sin 30°
contoh soal
1. Sederhanakanlah sebagai jumlah atau selisih sinus atau kosinus.3 sin c sin y
jawaban:
3 sin x sin y = 3 × ½ (cos (A - B) - cos (A + B))
= 3 × ½ (cos (x - y) - cos (x + y))
= 3 × ½ (cos x - cos y - cos x - cos y)
= 3 × ½ (-2 cos y)
= -3 cos y
2. Tentukanlah nilai cos 120º sin 60º
jawaban:
cos 120º sin 60º = ½ (sin (A + B) - sin (A - B))
= ½ (sin (120º + 60º) - sin (120º - 60º))
= ½ (sin (180º) - sin (60º))
= ½ (0 - ½√3)
= ½ (-½√3)
= -¼√3
3. Tentukanlah nilai 2 sin 52,5º sin 7,5º
jawaban:
2 sin 52,5º sin 7,5º = 2 × ½ (cos (A - B) - cos (A + B))
= (cos (52,5º - 7,5º) - cos (52,5º + 7,5º))
= (cos (45º) - cos (60º))
= ½√2 - ½
4. Hitunglah nilai sin 50º sin 40º - cos 95º cos 85º
jawaban:
sin 50º sin 40º = ½ (cos (A - B) - cos (A + B))
= ½ (cos (50º - 40º) - cos (50º + 40º))
= ½ (cos (10º) - cos (90º))
= ½ (cos (10º) - 0)
= ½ cos (10º)
cos 95º cos 85º = ½ (cos (A + B) + cos (A - B))
= ½ (cos (95º + 85º) + cos (95º - 85º))
= ½ (cos (180º) + cos (10º))
= -½ + ½ cos (10º)
Maka
sin 50º sin 40º - cos 95º cos 85º = ½ cos (10º) - (-½ + ½ cos (10º))
= ½ cos (10º) + ½ - ½ cos (10º)
= ½
5. Hitunglah nilai 2 cos 52,5º cos 7,5º
jawaban:
2 cos 52,5º cos 7,5º = 2 × ½ (cos (A + B) + cos (A - B))
= (cos (52,5º + 7,5º) + cos (52,5º - 7,5º))
= (cos (60º) + cos (45º))
= ½ + ½√2